বৃত্ত হলো একটি জ্যামিতিক আকার, যা একটি নির্দিষ্ট কেন্দ্রবিন্দু থেকে সমদূরত্বে অবস্থিত বিন্দুগুলির দ্বারা গঠিত। একটি বৃত্তে কয়েকটি গুরুত্বপূর্ণ উপাদান থাকে:

• কেন্দ্র: বৃত্তের মধ্যবর্তী বিন্দু, যেখান থেকে বৃত্তের সব বিন্দু সমান দূরত্বে থাকে।
• ত্রিজ্যা (Radius): কেন্দ্র থেকে বৃত্তের যে কোনো বিন্দু পর্যন্ত সরল রেখা।
• ব্যাসার্ধ (Diameter): বৃত্তের যে কোনো দুটি বিন্দুকে সংযুক্ত করে কেন্দ্র দিয়ে যাওয়া সরল রেখা, যা ত্রিজ্যার দ্বিগুণ।
• পরিধি (Circumference): বৃত্তের বাইরের অংশের দৈর্ঘ্য।

বৃত্তের ক্ষেত্রফল এবং পরিধি গণনা করার জন্য কিছু গাণিতিক সূত্র রয়েছে:

• পরিধি: \( C = 2 \pi r \), যেখানে \( r \) হলো ত্রিজ্যা।
• ক্ষেত্রফল: \( A = \pi r^2 \), যেখানে \( r \) হলো ত্রিজ্যা।

এখানে \( \pi \) হলো একটি ধ্রুবক, যার মান আনুমানিক \( 3.1416 \)।

নির্দিষ্ট কেন্দ্র \((h, k)\) এবং ব্যাসার্ধ \(r\) বিশিষ্ট বৃত্তের সমীকরণ হলো:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

এখানে:

• \((h, k)\) হলো বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক।
• \(r\) হলো বৃত্তের ত্রিজ্যা।

এই সমীকরণ থেকে, নির্দিষ্ট কোনো কেন্দ্রে এবং নির্দিষ্ট ব্যাসার্ধে বৃত্তের অবস্থান এবং আকার নির্ধারণ করা যায়।

বৃত্তের সাধারণ সমীকরণ হলো:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

এখানে:

• \((h, k)\) হলো বৃত্তের কেন্দ্রের স্থানাঙ্ক।
• \(r\) হলো বৃত্তের ত্রিজ্যা।

এই সমীকরণের মাধ্যমে, বৃত্তের কেন্দ্র এবং ত্রিজ্যার মান জানা থাকলে সহজেই বৃত্তের আকার এবং অবস্থান নির্ধারণ করা যায়।

বৃত্তের আদর্শ সমীকরণ হলো:

\[
x^2 + y^2 + 2gx + 2fy + c = 0
\]

এখানে:

• \(g\), \(f\), এবং \(c\) হলো ধ্রুবক, যেগুলোর মান অনুযায়ী বৃত্তের কেন্দ্র এবং ত্রিজ্যা নির্ধারিত হয়।
• কেন্দ্র \((-g, -f)\) এবং ত্রিজ্যা \(r = \sqrt{g^2 + f^2 - c}\)।

এই সমীকরণটি বৃত্তের একটি সাধারণ রূপ, যা থেকে আমরা বৃত্তের কেন্দ্র এবং ত্রিজ্যার মান নির্ধারণ করতে পারি।

বৃত্তের স্পর্শক (tangent) এবং অভিলম্ব (normal) এর সমীকরণ বের করার জন্য বৃত্তের সমীকরণ এবং নির্দিষ্ট বিন্দু ব্যবহার করা হয়। যদি আমাদের বৃত্তের সমীকরণ হয়:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

এখানে \((h, k)\) হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং \(r\)হলো ব্যাসাধ

ধ১. স্পর্শকের সমীকরণ

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু \((x_1, y_1)\) থেকে যদি একটি স্পর্শক আকা হয়, এবং যদি \((x_1, y_1)\) বিন্দুটি বৃত্তের উপর অবস্থিত হয়, তবে সেই স্পর্শকের সমীকরণ হবে:

\[
(x - h)(x_1 - h) + (y - k)(y_1 - k) = r^2
\]

অথবা, এই সমীকরণটি সাধারণ আকারে লিখলে:

\[
x x_1 + y y_1 - h(x + x_1) - k(y + y_1) = 0
\]

এটি হলো সেই বিন্দু থেকে বৃত্তের স্পর্শকের সমীকরণ।

২. অভিলম্বের সমীকরণ

অভিলম্ব হলো সেই সরলরেখা, যা কেন্দ্র থেকে স্পর্শকের উপর নির্দিষ্ট বিন্দুতে লম্বভাবে অঙ্কিত হয়। যদি \((x_1, y_1)\) বৃত্তের ওপর অবস্থিত কোনো বিন্দু হয়, তবে অভিলম্বের সমীকরণ হবে:

\[
\frac{x - h}{x_1 - h} = \frac{y - k}{y_1 - k}
\]

অথবা, এই সমীকরণটি সাধারণ আকারে লিখলে:

\[
(x - h)(y_1 - k) = (y - k)(x_1 - h)
\]

এটি হলো সেই বিন্দুতে বৃত্তের অভিলম্বের সমীকরণ।

স্পর্শক এবং অভিলম্বের এই সমীকরণগুলো বৃত্তের উপর অবস্থিত নির্দিষ্ট একটি বিন্দু থেকে তাদের আকার এবং অবস্থান নির্ধারণ করতে সহায়ক।

কোনো নির্দিষ্ট বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত একটি স্পর্শকের দৈর্ঘ্য নির্ণয়ের জন্য একটি সূত্র রয়েছে। যদি \((x_1, y_1)\) বিন্দুটি বৃত্তের বাইরের কোনো বিন্দু হয় এবং বৃত্তের সমীকরণটি হয়:

\[
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
\]

এখানে \((h, k)\) হলো বৃত্তের কেন্দ্র এবং \(r\) হলো বৃত্তের ত্রিজ্যা, তাহলে \((x_1, y_1)\) বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য \(PT\) হবে:

\[
PT = \sqrt{(x_1 - h)^2 + (y_1 - k)^2 - r^2}
\]

এখানে:

• \((x_1, y_1)\) হলো বৃত্তের বাইরের বিন্দু।
• \((h, k)\) হলো বৃত্তের কেন্দ্র।
• \(r\) হলো বৃত্তের ত্রিজ্যা।

এই সূত্র থেকে আমরা নির্দিষ্ট কোনো বাইরের বিন্দু থেকে বৃত্তের উপর অঙ্কিত স্পর্শকের দৈর্ঘ্য বের করতে পারি।

যদি দুটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা (common chord) এর সমীকরণ নির্ণয় করতে হয়, তাহলে প্রথমে দুটি বৃত্তের সমীকরণ লিখতে হবে এবং তারপর তাদের মধ্যে পার্থক্য করে সমীকরণ বের করতে হবে।

ধরা যাক, দুটি বৃত্তের সমীকরণ নিম্নরূপ:

প্রথম বৃত্তের সমীকরণ:

\[
(x - h_1)^2 + (y - k_1)^2 = r_1^2
\]

দ্বিতীয় বৃত্তের সমীকরণ:

\[
(x - h_2)^2 + (y - k_2)^2 = r_2^2
\]

এখানে:

• \((h_1, k_1)\) এবং \((h_2, k_2)\) যথাক্রমে প্রথম ও দ্বিতীয় বৃত্তের কেন্দ্র।
• \(r_1\) এবং \(r_2\) হলো যথাক্রমে প্রথম ও দ্বিতীয় বৃত্তের ত্রিজ্যা।

সাধারণ জ্যা নির্ণয়

সাধারণ জ্যা হলো সেই সরলরেখা, যা দুটি বৃত্তের ছেদ বিন্দুগুলির মধ্য দিয়ে যায়। এই সাধারণ জ্যার সমীকরণ পেতে, আমরা দুটি বৃত্তের সমীকরণ থেকে একটিকে অন্যটির সাথে বিয়োগ করবো।

বিয়োগ করলে পাই:

\[
[(x - h_1)^2 + (y - k_1)^2] - [(x - h_2)^2 + (y - k_2)^2] = r_1^2 - r_2^2
\]

সরলীকরণ করলে:

\[
2x(h_2 - h_1) + 2y(k_2 - k_1) = r_1^2 - r_2^2 + h_1^2 - h_2^2 + k_1^2 - k_2^2
\]

এটিকে আরও সংক্ষিপ্ত আকারে লিখলে:

\[
x(h_2 - h_1) + y(k_2 - k_1) = \frac{r_1^2 - r_2^2 + h_1^2 - h_2^2 + k_1^2 - k_2^2}{2}
\]

এই সমীকরণটি হলো দুইটি বৃত্তের সাধারণ জ্যা বা common chord এর সমীকরণ।